تبدیل ویگنر-وایل

مقدمه

تبدیل ویگنر-وایل (Wigner-Ville Transform) یکی از ابزارهای پیشرفته در پردازش سیگنال است که برای تحلیل سیگنال‌های غیرایستا با وضوح بالا در حوزه زمان-فرکانس استفاده می‌شود. این تبدیل توزیع انرژی سیگنال را به‌صورت همزمان در حوزه زمان و فرکانس نمایش می‌دهد و نسبت به تبدیل فوریه زمان کوتاه (STFT) وضوح بهتری ارائه می‌کند، اما با پیچیدگی‌های محاسباتی و مشکلات تداخل متقابل (cross-term interference) همراه است.

با توجه به شکل می توان وضوح فرکانسی در حوزه زمان و فرکانس را برای تبدیل های زمان فرکانس مختلف بررسی کرد. با مقایسه این روش با سایر روش ها وضوح فرکانسی زمانی را برای تبدیل وینگر وایل اثبات می کند.

تبدیل ویگنر-وایل چیست؟

تبدیل ویگنر-وایل یک توزیع زمان-فرکانس است که انرژی سیگنال را به‌صورت یک تابع دوبعدی در زمان و فرکانس نشان می‌دهد. این تبدیل با استفاده از خود-همبستگی لحظه‌ای سیگنال و تبدیل فوریه آن محاسبه می‌شود. برخلاف STFT که از پنجره زمانی استفاده می‌کند، تبدیل ویگنر-وایل نیازی به پنجره ندارد و بنابراین وضوح فرکانسی بهتری ارائه می‌دهد، اما ممکن است شامل مؤلفه‌های تداخلی باشد.

فرمول ریاضی تبدیل ویگنر-وایل

برای یک سیگنال پیوسته ( x(t) )، تبدیل ویگنر-وایل به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$$
\color{black}{
W_x(t, f) =
\int_{-\infty}^{\infty}
x\!\left(t + \frac{\tau}{2}\right)
x^*\!\left(t – \frac{\tau}{2}\right)
e^{-j 2\pi f \tau} \, d\tau
}
$$

که در آن:

x(t) : سیگنال ورودی.
x*(t) : مزدوج مختلط سیگنال.
(tau ): جابجایی زمانی.
f: فرکانس (هرتز).
W_x(t, f) : توزیع ویگنر-وایل در زمان ( t ) و فرکانس ( f ).

برای سیگنال‌های گسسته ( x[n] )، تبدیل ویگنر-وایل گسسته به‌صورت زیر است:

$$
\color{black}{
W_x[n, k] =
2 \sum_{m=-\infty}^{\infty}
x[n + m]\, x^*[n – m]\,
e^{-j\, 4\pi k m / N}
}
$$

که در آن:

N: تعداد نقاط در تبدیل فوریه.
k : شاخص فرکانس.
m : جابجایی گسسته.

شرایط استفاده

برای استفاده از تبدیل ویگنر-وایل، سیگنال باید:

دارای انرژی محدود باشد.
برای سیگنال‌های گسسته، به‌درستی نمونه‌برداری شده باشد.
به دلیل تداخل متقابل، برای سیگنال‌های تک‌مؤلفه‌ای مناسب‌تر است یا نیاز به روش‌های کاهش تداخل دارد.

پیاده‌سازی تبدیل ویگنر-وایل در متلب

کد متلب زیر یک سیگنال کسینوسی با فرکانس ۲۰۰ هرتز را در بازه زمانی ۱.۵ ثانیه‌ای تولید می‌کند که با نرخ نمونه‌برداری ۱۰۰۰ نمونه بر ثانیه ساخته شده است.

fs = 1000;
t = (0:1/fs:1.5)';
x = cos(2*pi*t*200);
wvd(x,fs)

سپس با استفاده از تابع wvd، که مخفف Wigner-Ville Distribution است، توزیع زمان-فرکانس این سیگنال محاسبه و نمایش داده می‌شود. این توزیع به ما امکان می‌دهد تا تغییرات فرکانس سیگنال را در طول زمان به صورت دقیق‌تر و با وضوح بالاتر نسبت به روش‌های معمول تحلیل فوریه مشاهده کنیم.

همانطور که در شکل دیده می شود یک خط در فرکانس 200 هرتز در تمام زمان ها نشان داده شده و وضوح بالایی هم در حوزه فرکانس و هم زمان دارد.

کاربردهای تبدیل ویگنر-وایل

تبدیل ویگنر-وایل در حوزه‌های مختلفی کاربرد دارد، از جمله:

پردازش گفتار و صوت: تحلیل دقیق تغییرات فرکانسی در سیگنال‌های صوتی.
تحلیل رادار و سونار: شناسایی سیگنال‌های غیرایستا با وضوح بالا.
تشخیص عیوب ماشین‌آلات: بررسی ارتعاشات پیچیده با تغییرات فرکانسی.
تحلیل سیگنال‌های بیومدیکال: مطالعه سیگنال‌های غیرایستا مانند EEG یا ECG.

محدودیت‌ها

تداخل متقابل (Cross-Terms): در سیگنال‌های چندمؤلفه‌ای، مؤلفه‌های تداخلی ممکن است توزیع را پیچیده کنند.
پیچیدگی محاسباتی: محاسبات تبدیل ویگنر-وایل نسبت به STFT سنگین‌تر است.
نیاز به فیلتر کردن: برای کاهش تداخل، گاهی از نسخه‌های اصلاح‌شده مانند توزیع کوهن (Cohen’s Class) استفاده می‌شود.

نتیجه‌گیری

تبدیل ویگنر-وایل ابزاری قدرتمند برای تحلیل سیگنال‌های غیرایستا با وضوح بالا در حوزه زمان-فرکانس است. این روش برای کاربردهایی که نیاز به دقت بالا در تحلیل فرکانسی دارند، مناسب است، اما به دلیل تداخل متقابل نیاز به مدیریت دقیق دارد. کدهای ارائه‌شده در این مقاله می‌توانند به‌عنوان پایه‌ای برای تحلیل سیگنال‌های غیرایستا در متلب استفاده شوند.