تبدیل استاکول (S Transform)

بررسی تبدیل های مختلف

به منظور درک بهتر تبدیل های مختلف در حوزه پردازش تصویر و سیگنال در این مقاله به یادآوری تبدیل های پایه پرداخته و کارامدی تبدیل S را مورد توجه قرار می دهیم.

• تبدیل فوریه
• تبدیل فوریه زمان کوتاه
• تبدیل موجک
• تبدیل S

تبدیل فوریه (FT)

تبدیل فوریه، که توسط جوزف فوریه در اوایل قرن نوزدهم معرفی شد، یک تابع را به فرکانس های تشکیل دهنده آن تجزیه می کند. این به طور گسترده در پردازش سیگنال، فیزیک و مهندسی استفاده می شود.

$${\displaystyle \begin{array}{c}\mathrm{X(f)\; =}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{x(t)}{e}^{-j2\pi ft}\mathrm{dt}\end{array}}$$

معایب:
تبدیل فوریه اطلاعات فرکانس را ارائه می دهد اما زمان حضور آن فرکانس را در سیگنال نشان نمی دهد.بنابراین تحلیل سیگنال های ناایستا را دشوار می کند.
نشت طیفی: هنگام تجزیه و تحلیل سیگنال های محدود در زمان، FT می تواند نتایج غیر دقیقی به دلیل ناپیوستگی در لبه های سیگنال نشان دهد.

تبدیل فوریه زمان کوتاه (STFT)

STFT با تقسیم سیگنال به بخش‌های کوتاه‌تر و اعمال FT برای هر بخش، می تواند فرکانس های حاضر در آن بازه زمانی ر مشخص کند. این قابلیت تبدیل فوریه زمان کوتاه را قادر می کند علاوه بر وضوح فرکانسی وضوح زمانی نیز داشته باشد. باید توجه داشت، اگر پنجره خیلی کوتاه باشد، وضوح زمانی خوب اما وضوح فرکانس ضعیفی ارائه می دهد و بالعکس.

$${\displaystyle \begin{array}{c}\mathrm{STFT\; \{x(t)\}\; (m,w)=}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{x(t)\; w(t-m)}{e}^{-j\omega t}\mathrm{dt}\end{array}}$$

معایب:
وضوح ثابت: STFT به علت استفاده از پنجره با اندازه ثابت منجر به مصالحه ای بین وضوح زمانی و فرکانسی می شود.
مصنوعات پنجره: انتخاب تابع پنجره می تواند ممنجربه سایدلوب هایی در حوزه فرکانسی شده که بر دقت تجزیه و تحلیل تأثیر بگذارد.

تبدیل موجک (WT)

تبدیل موجک با استفاده از موجک‌هایی که هم از نظر زمان و هم در فرکانس محلی‌سازی شده‌اند، یک آنالیز با وضوح چندگانه از یک سیگنال ارائه می‌کند.(مطالعه بیشتر تبدیل موجک)

$${\displaystyle \begin{array}{c}\mathrm{WT\; \{x(t)\}\; (a,b)\; =}\frac{1}{\sqrt{a}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{x(t)}\psi \left(\frac{t-b}{a}\right)\mathrm{dt}\end{array}}$$

که در آن 𝜓(𝑡) موجک مادر، 𝑎 پارامتر مقیاس، و 𝑏 پارامتر انتقال می باشد.

معایب:
پیچیدگی: پیاده سازی و درک WT در مقایسه با FT و STFT پیچیده تر است.
اثرات لبه: مشابه FT، در WT نیز به دلیل طول محدود سیگنال موجک حساس به لبه شود.

تبدیل استاکول (ST)

S-Transform یک تکنیک پیشرفته تحلیل فرکانس زمانی است که قابلیت‌های تبدیل فوریه کوتاه مدت (STFT) و تبدیل موجک (WT) را افزایش می‌دهد.

نمایش زمان-فرکانس: مانند STFT، نمایشی از سیگنال در حوزه زمان و فرکانس ارائه می دهد.
رزولوشن متغیر: مشابه تبدیل ویولت، اندازه پنجره را بر اساس فرکانس تنظیم می کند. فرکانس‌های بالا با پنجره‌های کوتاه و باریک (رزولوشن زمانی خوب) و فرکانس‌های پایین با پنجره‌های طولانی و عریض (رزولیشن فرکانس خوب) تجزیه و تحلیل می‌شوند.

نمایش ریاضی تبدیل S

پنجره پیشنهادی در تبدیل S پنجره ای گوسی می باشد که اندازه آن با فرکانس تنظیم می شود.

$${\displaystyle \begin{array}{c}\mathrm{S(\tau \; ,\; f)\; =}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{x(t)}\frac{|f|}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(t-\tau )2f^2}{2}}{e}^{-j2\pi ft}\mathrm{dt}\end{array}}$$

𝑥(𝑡) سیگنال در حوزه زمان است
𝜏 نشان دهنده مقدار شیفت زمان است.
𝑓 نشان دهنده فرکانس است.
این فرمول نشان می دهد که برای فرکانس های بالا، پنجره گاوسی باریک می شود و وضوح زمانی خوبی را ارائه می دهد. برای فرکانس های پایین، پنجره باز می شود و وضوح فرکانس بهتری را ارائه می دهد. این ویژگی وضوح چند متغیر چیزی است که S-Transform را برای تجزیه و تحلیل سیگنال‌ها با اجزایی که در طول زمان تغییر می‌کنند قدرتمند می‌کند.

مزایا تبدیل S

به طور خلاصه مزایای زیر را می توان برای تبدیل S متصور شد:

رزولوشن متغیر: S-Transform رزولوشن خود را بر اساس فرکانس تطبیق می دهد و به آن اجازه می دهد تا اجزای فرکانس بالا را با وضوح زمانی خوب و اجزای فرکانس پایین را با وضوح فرکانس خوب ضبط کند.
سهولت در تفسیر: S-Transform نتیجه ای ایجاد می کند که تفسیر آن در مقایسه با WT آسان تر است.زیرا پنجره های گاوسی مورد استفاده در تبدیل شبیه به موارد استفاده شده در STFT هستند.
نمایش فرکانس زمانی پیشرفته: با تغییر اندازه پنجره با فرکانس، S-Transform نمایش دقیق تری از سیگنال های غیر ایستا ارائه می دهد.
حفظ انرژی: S-Transform انرژی سیگنال اصلی را حفظ می کند، که برای کاربردهای مختلف مانند پردازش سیگنال و تجزیه و تحلیل داده های ژئوفیزیکی مفید است.

مقایسه بهتر تبدیل های معرفی شده در جدول زیر آورده شده است.

ویژگی	تبدیل S	تبدیل موجک	تبدیل زمان کوتاه	تبدیل فوریه
نمایش زمان فرکانس	عالی	خوب	متوسط	ضعیف
پیچیدگی	بالا	بالا	متوسط	کم
انعطاف پذیری	بالا	بالا	متوسط	کم
بهره وری محاسبانی	متوسط	کم	متوسط	بالا
مورد استفاده	آنالیز زمان فرکانس	آنالیز چند رزولشنی	غیر ایستا	سیگنال ایستا

کاربرد های تبدیل S

این رویکرد تطبیقی ​​S-Transform را برای آن دسته از کاربرد هایی قدرتمند می‌کند که اطلاعات زمان و فرکانس آن‌ها بسیار مهم هستند، مانند موارد زیر:
پردازش سیگنال زیست پزشکی: تجزیه و تحلیل سیگنال های ECG یا EEG.
تجزیه و تحلیل داده های لرزه ای: تفسیر ساختارهای زمین شناسی.
مخابرات: نظارت بر ویژگی های سیگنال های مختلف در طول زمان.

در نتیجه، S-Transform تجزیه و تحلیل انعطاف پذیرتر و دقیق تری از سیگنال های غیرایستا ارائه می دهد. توانایی آن در ارائه رزولوشن متغیر، امکان تحلیل فرکانس-زمانی بهتری را فراهم می‌کند و آن را برای طیف گسترده‌ای از کاربردها، پزشکی و غیره مناسب می‌سازد.

(سفارش پروژه و دسترسی به ویدیو ها کد های آموزشی)