سري فوريه

سری فوریه یکی از ابزارهای کلیدی در پردازش سیگنال و تحلیل ریاضی است که امکان بازنمایی توابع متناوب را به صورت ترکیبی از توابع سینوسی و کسینوسی با فرکانس‌های مختلف فراهم می‌کند. این روش در حوزه‌های مهندسی برق، مخابرات، پردازش تصویر، و علوم داده کاربردهای گسترده‌ای دارد.
یک تابع متناوب f(x) با دوره T را می توان با کمک جمع توابع سینوسی و کسینوسی با فرکانس های مختلف با استفاده از فرمول زير بازنویسی کرد.

• a0​: مؤلفه DC یا میانگین تابع در یک دوره تناوب.
• an ​: ضرایب کسینوسی، نشان‌دهنده وزن مؤلفه‌های کسینوسی با فرکانس 2πn/T
• bn ​: ضرایب سینوسی، نشان‌دهنده وزن مؤلفه‌های سینوسی با فرکانس 2πn/T .

ضرايب سري فوريه که نماد مولفه هاي فرکانسي سیگنال متناوب f(x) است، از روابط زير محاسبه می شود (سيگنال پيوسته).

با استفاده از ضرایب سری فوریه یک تابع متناوب، می توانیم آن تابع را بر حسب مجموعه ای از توابع پایه تقریب بزنیم. باید توجه داشت که برای به دست آوردن ضرایب سری فوریه، تابع  مربوطه حتما باید در بازه دوره تناوب خود، انتگرال پذیر باشد(مطابق با شرایط دیریکله).

پیاده‌سازی در متلب

با یاد آوری های ذکر شده به بررسی سری فوریه در متلب می پردازیم. از رابطه ذکر شده برای برنامه نویسی استفاده می شود.

مثال: تابع f(x)=sin⁡(x)+2cos⁡(5x) متناوب با دوره T=2π را بررسی می‌کنیم. هدف، محاسبه ضرایب سری فوریه و بازسازی تابع است.

% تعریف پارامترها
T = 2*pi; % دوره تابع
f = @(x) sin(x) + 2*cos(5*x); % تابع متناوب

% محاسبه مؤلفه DC
a0 = (2/T) * integral(f, -T/2, T/2);

% تعداد مؤلفه‌های فوریه
N = 10;

% تعریف بازه x برای رسم
x = -2*pi:0.01:2*pi;
y_approx = zeros(size(x));
an = zeros(1, N);
bn = zeros(1, N);

% محاسبه ضرایب سری فوریه
for n = 1:N
    f_cos = @(x) f(x) .* cos(2*pi*n*x/T);
    f_sin = @(x) f(x) .* sin(2*pi*n*x/T);
    an(n) = (2/T) * integral(f_cos, -T/2, T/2);
    bn(n) = (2/T) * integral(f_sin, -T/2, T/2);
end

% بازسازی تابع با سری فوریه
for i = 1:length(x)
    sum_terms = 0;
    for n = 1:N
        sum_terms = sum_terms + an(n) * cos(2*pi*n*x(i)/T) + bn(n) * sin(2*pi*n*x(i)/T);
    end
    y_approx(i) = a0/2 + sum_terms;
end

% رسم سیگنال اصلی و تقریب
figure;
plot(x, f(x), 'k-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'سیگنال اصلی');
hold on;
plot(x, y_approx, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'تقریب سری فوریه');
grid on;
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
title('مقایسه سیگنال اصلی و تقریب سری فوریه');
legend('show');
hold off;

% نمایش ضرایب
figure;
subplot(2,1,1);
stem(0:N-1, an, 'filled', 'DisplayName')

شکل زير نشان دهنده تقريب با سري فوريه و خود سيگنال اصلي مي باشد همانطور که واضح است اين کار با دقت انجام شده است.

ضرايب سري فوريه يه صورت زير نشان داده شده است.

همانطور در که شکل ديديم ضرايب اول سينوسي معادل جمله اول sin(x) مي باشد و عبارت 5 ام ضرايب کسينوسي نيز نشان دهنده جمله دوم تايع يعني 2cos(5x) مي باشد.

کاربردهای سری فوریه

سری فوریه در حوزه‌های مختلفی کاربرد دارد، از جمله:

• پردازش سیگنال: تجزیه سیگنال‌های متناوب به مؤلفه‌های فرکانسی برای تحلیل یا فیلتر کردن.
• فشرده‌سازی داده: بازنمایی سیگنال با تعداد محدودی از مؤلفه‌های فرکانسی برای کاهش حجم داده.
• حل معادلات دیفرانسیل: استفاده در مسائل مهندسی برای حل معادلات دیفرانسیل متناوب.
• تحلیل سیستم‌ها: بررسی رفتار سیستم‌های متناوب در مهندسی کنترل و مخابرات.

محدودیت‌ها

• همگرایی: سری فوریه در نقاط پیوسته تابع به مقدار تابع همگرا است، اما در نقاط ناپیوستگی ممکن است پدیده گیبس (Gibbs Phenomenon) رخ دهد.
• محدودیت‌های عددی: دقت انتگرال‌گیری و تعداد مؤلفه‌های فوریه بر کیفیت تقریب تأثیر می‌گذارد.
• کاربرد محدود به سیگنال‌های متناوب: سری فوریه برای سیگنال‌های غیرمتناوب مناسب نیست و در این موارد تبدیل فوریه یا روش‌های دیگر استفاده می‌شود.

نتیجه‌گیری

سری فوریه ابزاری قدرتمند برای تحلیل و بازنمایی توابع متناوب است که امکان تجزیه سیگنال‌های متناوب به مؤلفه‌های فرکانسی را فراهم می‌کند. این روش در پردازش سیگنال، تحلیل سیستم‌ها، و حل مسائل مهندسی کاربردهای گسترده‌ای دارد. کدهای ارائه‌شده در این مقاله می‌توانند به‌عنوان پایه‌ای برای تحلیل توابع متناوب مختلف در متلب استفاده شوند.

برای مطالعه بیشتر، کتاب‌هایی مانند “Signals and Systems” نوشته اپنهایم و منابع پردازش سیگنال توصیه می‌شود.